基于稀疏傅里葉變換的氯氣流量計流量分析

摘要：傳統的渦街信號處理方法主要是用傅里葉變換，由于傳統的傅里葉變換的時(shí)間復雜度與其分析的信號長(cháng)度成正比，采樣點(diǎn)數越多其頻譜譜線(xiàn)越接近理想狀態(tài)，但需要較大的運算時(shí)間。 針對這個(gè)問(wèn)題，提出了采用稀疏傅里葉變換分析渦街流量信號的方法，利用實(shí)驗數據進(jìn)行 Matlab 仿真，驗證了該方法的性能優(yōu)于傳統的方法，不僅提高了對強噪聲的抗干擾能力還加快了計算速度。
近半個(gè)世紀以來(lái)， 氯氣流量計因其測量精度高、 無(wú)可動(dòng)部件、測量精度高等優(yōu)點(diǎn)得到了迅猛的發(fā)展。 氯氣流量計主要測量部件為壓電傳感器，其易受到噪聲的干擾，如管道振動(dòng)、電磁干擾、流體的低頻擺動(dòng)等。 在含有噪聲的信號的中提取出有用的渦街信號， 國內外眾多研究學(xué)者對渦街信號的處理方式主要有FFT 的周期圖法、互相關(guān)法、自適應陷波濾波法、小波分析法和數字跟蹤濾波方法等 。 但是這些方法對于含有強噪聲的信號測量精度不高或錯誤，即噪聲頻率在渦街信號頻率范圍內，而噪聲的幅值高于渦街信號的幅值。 本文提出一種基于稀疏傅里葉變換的渦街信號分析方法， 該方法不僅具有很高的實(shí)時(shí)性而且對含有強噪聲的信號也能夠保證測量的準確性。
1 稀疏傅里葉變換的理論分析
快速傅里葉變換（ Fast Fourier Transform ， FFT ）的時(shí)間復雜度為 O （ nlogn ），與離散傅里葉變換（ Discrete Fourier Trans-form ， DFT ）的復雜度 O （ N 2 ）相比，運算速度發(fā)生了質(zhì)的飛躍，尤其是隨著(zhù)采樣點(diǎn)數 N 的增加這種優(yōu)勢就越加明顯 。但是隨著(zhù)時(shí)代的發(fā)展，需要實(shí)時(shí)處理的信號越來(lái)越多，即便是 FFT 對于這樣的需求也難以滿(mǎn)足。 傳統的 FFT 只考慮到了信號的長(cháng)度 N 需要為 2 的整數次冪，并未考慮到信號的自身的特性，如稀疏性。
在實(shí)際生活中常見(jiàn)的信號的傅里葉系數只有小部分是我們感興趣的，其大部分都是可以忽略的，如圖像和語(yǔ)音信號  。 針對這樣的信號能否找到一種更加快速的算法來(lái)計算其傅里葉變換，MIT的團隊給出了答案 。 該團隊提出了稀疏傅里葉變換（ Sparse Fourier Transform ， SFT ）， 該算法利用了信號頻域的稀疏性，先對信號進(jìn)行分“桶”，將長(cháng)的 DFT 運算變?yōu)檩^短的運算，再根據一定的規則重構了信號的頻譜，其運算速度為 FFT 的十倍甚至百倍 。
稀疏傅里葉變換使用的先決條件就是分析的信號具有稀疏性，設 x （ n ）是長(cháng)度為 N 點(diǎn)的有限長(cháng)序列，則該序列的 N 點(diǎn)離散傅里葉變換逆變換為：

其中 Ω N 表示集合 邀0 ， 1 ，……， N－1妖 。 只有 K （ K塏N ）個(gè)非零的傅里葉系數，只通過(guò)信號 x （ n ）的部分采樣值來(lái)確定這 K 非零傅里葉系數與位置。
1．1 頻域降采樣
參數 B 整除 N ，若想要以等間隔 N／B 對信號頻域進(jìn)行降采樣，即：

混疊后頻域譜線(xiàn)由 N 減少到 B ，信號點(diǎn)數成倍較少，這正是SFT 算法復雜度為亞線(xiàn)性的關(guān)鍵原因之一。
1．2 稀疏傅里葉變換運算步驟
稀疏傅里葉變換包括頻譜重排、加窗函數、頻域降采樣、定位、估值與迭代等運算過(guò)程。
1．2．1 頻譜重排
頻譜重排的目的是使各大值點(diǎn)均勻分布， 分桶時(shí)大頻點(diǎn)不要分到同一個(gè)桶中，當兩個(gè)或兩個(gè)以上大值點(diǎn)在同一桶中時(shí)，無(wú)法求解取大值點(diǎn)的頻率和位置。p （ n ） ＝x ｛ mod ［ σ · n ， N ］｝， nε ［ 1 ， N ］ （ 4 ）式中 σ 為一個(gè)隨機數，且為奇數，并滿(mǎn)足 mod ［ σ×σ －1 ， N ］ ＝1 ，這就保證了 σ 與 N 互為質(zhì)數， σ －1 為 σ 的模逆算子。 根據傅里葉變換可知上式中的 p （ n ）， x （ n ）滿(mǎn)足：P （ k ） ＝X ｛ mod ［ σ－1 · k ， N ］｝， σ ， kε ［ 1 ， N ］ （ 5 ）通過(guò)式（ 4 ）、（ 5 ）知道信號時(shí)域上的重排也會(huì )導致頻譜信號位置上發(fā)生變換。
1．2．2 窗函數濾波器
為了保證算法的效率且防止頻譜泄漏，需要設計一個(gè)在時(shí)域和頻域能量都集中的濾波器， 根據文獻該濾波器的為 sinc 窗函數與高斯窗函數的卷積，該窗函數具有過(guò)渡帶陡峭、通帶平滑等特點(diǎn)。
1．2．3 哈希映射
定義一個(gè)映射區間 Ω N →Ω B 的哈希函數： h σ （ k ） ＝round （ σ ·k · N／B ）， round 表示四舍五入， 將 Ω N 中每一個(gè)點(diǎn)都映射到 Ω B中。 定義偏移量： o σ （ k ） ＝σ · k－h(huán) σ （ k ）·（ N／B ）；定義集合 J ，集合 J包含了 Z （ k 中 K 個(gè)較大幅值的坐標 k ；通過(guò)哈希反映射得到 I r ，即 I r ＝邀kε ［ 0 ， N－1 ］ ｜h σ （ k ） εJ妖 ，最后從中取出 K 個(gè)大值點(diǎn)對原信號的頻率估計。
1．2．4 循環(huán)投票
對于每一個(gè) kεI ， X‘（ k ） ＝Z （ h σ （ k ） W Nτk／G （ o σ （ k ））頻率估計值。 每一次定位循環(huán)得到一個(gè)坐標集合 I r ，在 L＝O （ log 2 N ）次循環(huán)中，對任意坐標 kεI＝I 1 U …… υI r ，若出現次數大于 L／2 ，則將其歸入集合 I‘ 中，并認為集合 I‘ 包含所有目標頻點(diǎn)坐標。 對每一個(gè)kεI‘ ，取 L 次循環(huán)得到 X （ k ）的中值作為最終的頻率值，即：X （ k ） ＝median （ 邀X r （ k ） ｜rε邀1 ，……， L)
2 渦街信號的特點(diǎn)
在一定范圍內，流體流速 V 與渦街頻率 f 有以下關(guān)系：
f＝πK 1 VD2／4 （ 6 ）
其中 K 1 為儀表系數， D 為管道直徑。在管道口徑 D 不變，流體密度不變的情況下，渦街傳感器的輸出幅值與 f 2 成正比，具體表達形式可以根據實(shí)驗測出。本文以 50mm 口徑氣體實(shí)驗為例，數據如表 1 所示：

從表 1 的氣體流量的實(shí)際幅值和擬合幅值的誤差可以看出，渦街信號的幅值在理論值附近波動(dòng)，且波動(dòng)的范圍一定，則幅頻關(guān)系更一般的形式表達如下：

其中 c 為系數， δ 為相對誤差限， 其示意圖如圖 2 所示，圖中實(shí)線(xiàn)為幅頻關(guān)系的理論擬合曲線(xiàn)， 而虛線(xiàn)為幅值波動(dòng)的閾值曲線(xiàn)。根據實(shí)驗的數據，渦街信號幅值波動(dòng)的相對誤差為 ±10％ 。

3 實(shí)驗仿真
本實(shí)驗采用基于對管道振動(dòng)信號進(jìn)行分析， 其采樣點(diǎn)數為2048 ，采用稀疏傅里葉變換對數據進(jìn)行頻譜分析。 如圖 3 所示。

圖 4 是用 FFT 算法對渦街時(shí)域信號分析后得到的頻譜圖，其中渦街信號頻率為 141．8Hz ，振動(dòng)噪聲信號頻率為 25．34Hz 。從圖中可以看出，信號是稀疏的，稀疏度 K＝2 。

從圖 5 可以看出 SFT 算法能夠很好恢復，對渦街信號的頻率恢復沒(méi)有誤差，而幅值的誤差不超過(guò) 1％ ，這對含有強振動(dòng)噪聲的渦街信號精確測量至關(guān)重要；圖 6 是經(jīng) SFT 頻譜分析所得到的數據通過(guò)幅頻特性曲線(xiàn)來(lái)辨別是噪聲信號還是渦街信號。通過(guò)幅頻關(guān)系的信號處理方法可以從含有振動(dòng)的混合信號中識別渦街信號，從而達到提高氯氣流量計抗振動(dòng)性能的目的。

現在分析 SFT 算法的優(yōu)越性。 基于哈希映射的稀疏傅里葉變換算法的時(shí)間復雜度為

由前文可知 FFT 算法時(shí)間復雜度為 O （ Nlog 2 N ）。 隨著(zhù)信號長(cháng)度 N 的增長(cháng)，兩者的時(shí)間復雜度也會(huì )發(fā)生變化。 采用時(shí)間復雜度的數量級的比值來(lái)刻畫(huà)這種變化：

當 K＝2 ，SFT 算法與 FFT 算法的時(shí)間復雜度的比值關(guān)系如圖 7 所示。處理的 ROBLOCAM－CN 算法進(jìn)行對比，其估計誤差率 eer(t)對比效果如圖 4 所示。從對比結果中可以看到，若不對通信噪聲進(jìn)行處理則各自由節點(diǎn)和墻的位置始終存在偏差 ， 而 在ROBLOCAM－CN 算法下所有的自由節點(diǎn)與墻都迅速收斂至各自的精確位置，驗證了本算法的有效性和魯棒性。 各節點(diǎn)的收斂軌跡和最終的定位與環(huán)境構建效果如圖 5 所示。


5 結束語(yǔ)
本文提出了一種噪聲情形下新穎的室內定位與環(huán)境構建算法，該算法不需要無(wú)線(xiàn)傳感器網(wǎng)絡(luò )中的節點(diǎn)配備激光傳感模塊，只需要通過(guò)節點(diǎn)間的射頻信號即可實(shí)現對周?chē)h(huán)境的感知，為室內定位與環(huán)境構建技術(shù)提供了一種經(jīng)濟且可靠的解決方案。

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